Exemple de matrice symetrique definie positive

Par conséquent, $A $ est une matrice positive définie. La matrice $A $ est connue sous le nom de matrice diagonale, et le déterminant $D _3 = begin{vmatrix}-3 & 0 & 0 0 &-2 & 0 0 & 0 &-1 end{vmatrix} $ peut être calculé comme le produit des entrées dans la diagonale principale, c`est $D _ 3 = (-3) (-2) (-1) =-6 0 pour tous les vecteurs réels non nuls z“ implique que M est positif défini dans le sens complexe.

Il est facile de généraliser cet exemple en prenant $A $ pour être une matrice diagonale dans $M _ {n times n} (Bbb R) $ avec au moins un zéro sur la diagonale; de nombreuses autres généralisations sont également possibles. TX rangle ge $0 pour tous les vecteurs $x $. Pour cette raison, les matrices définies positives jouent un rôle important dans les problèmes d`optimisation. Ce résultat ne s`étend pas au cas de trois matrices ou plus. Ryzhik, je. Les conditions suivantes sont nécessaires (mais pas suffisantes) pour une matrice hermitienne (qui par définition a de vrais éléments diagonaux) pour être positive définie. Minc, H. Gradshteyn, I. En fait, nous avons diagonalisé M par rapport au produit intérieur induit par N. Si M n`est pas défini positivement, alors certains des éléments diagonaux de L peuvent être nuls. Nous avons ce z * MZ ≥ 0 pour tous les complexes z, et en particulier pour z = (v, 0) T.

classer la matrice symétrique carrée suivante $A = begin{bmatrix} 6 & 4 4 & 5 end{bmatrix} $ comme positif défini, négatif défini, indéfini ou inconnu. Ces termes sont plus correctement définis dans l`algèbre linéaire et se rapportent à ce que l`on appelle les valeurs propres d`une matrice. Considérez le cas où la matrice A n`est pas le rang complet donc a donc plus de lignes que de colonnes. Notez que ce résultat ne contredit pas ce qui est dit sur la diagonalisation simultanée dans l`article matrice Diagonalizable, qui fait référence à la diagonalisation simultanée par une transformation de similarité. Pour les matrices complexes, la définition la plus commune indique que «M est positif défini si et seulement si z * MZ est réel et positif pour tous les vecteurs de colonne complexes non nuls z». NX = 1. La matrice M {displaystyle M} est positive définie si et seulement si la forme bilinéaire ⟨ z, w ⟩ = z T M w {displaystyle langle z, wrangle = z ^ {textsf {T}} MW} est positif défini (et de même pour une forme sesquilinéaire positive définie dans le cas complexe). CN (ou, tous les non-zéro x dans RN pour la matrice réelle), où x * est la transposition conjuguée de x.